本次讲座我们将详细讲解复数的几何意义及其四则运算，并用一些有趣的例子来说明如何用复数微积分来证明平面几何问题。
一、复数的几何意义
众所周知，如果在平面上引入一个笛卡尔坐标，那么任何一个复数z=a+bi (a，B为实数)都可以用平面上坐标为(A，B)的点P来表示(图1)。这样，我们就可以建立所有复数与平面上所有点的一一对应关系:每个复数Z都由一个唯一的点P表示，每个
横轴上的点代表实数，所以这个轴叫做实轴。纵坐标轴上的点用bi的形式表示纯虚数，所以这个坐标轴叫虚轴。
平面上一点的位置也可以由径向长度R和与实轴的正夹角来确定。r称为复数的模和Z的振幅角，常用的符号有
如果Z的模和振幅角分别为R和，那么它的实部和虚部将为
所以我们有
下面这个复数的表达式很有用。
注意，当我们谈到Z的振幅角时，我们总是把正半实轴从原来的位置到径向位置逆时针扫过的角度看作是正的，把沿顺时针方向扫过的角度看作是负的。例如，I位于虚轴的上半部分，因此其振幅为，而-i位于虚轴的下半部分，其振幅为
复数的幅度不是唯一的。如果是Z的振幅，那么(n=0，土1，土2，…)也是Z的振幅，当z=0时，振幅角没有意义。
我们知道复数z=a+bi的模是
因此
这里是复数
称为z的共轭复数。
有趣的是位于以原点为圆心，半径为1的圆(单位圆)上的复数。这些复数的模是1，所以它们有一个形式。
我们知道
也就是说，当两个模为1的复数相乘时，只需要将它们的振幅角相加即可。这里，振幅角的作用相当于幂公式中指数x的作用，所以我们用一个标记来表示复数C:
我们有
有了这个记号，任何复数z都可以写成。
而它们的共轭复数在这里只是一个纯粹的标记。
除了平面上的一点，复数Z也可以看作平面上的一个向量:这个向量在实轴和虚轴上的分量分别是A和B，所以它的长度是|z|。在这里，向量的起点是什么完全无关紧要。因此，平面上任意两个向量，只要长度相同，方向相同，就可以表示同一个复数。有无限个向量代表同一个复数。因为这几个矢量大小和方向都一样，所以我们把它们看成同一个矢量，叫做自由矢量。
如果向量Z的起点在坐标原点，那么它的终点就是点Z，以原点为起点的向量称为复数Z的位置向量。
现在我们来看看复数四则运算的几何意义。
(1)复数的加(减)。两个复数
相加或相减时，实部和虚部分别相加或相减。也就是说，所表示的向量要按照普通的平行四边形法则进行加减运算。为了增加矢量和，我们把的起点放在的终点，然后从起点到终点的矢量是+(图4)。
我们知道复数的模是其向量的长度，但是在一个三角形中，两条边的长度之和不小于第三条边的长度，所以从图4中可以立即得出一个重要的不等式。
流传甚广。
从矢量相加的规律也可以看出，如果平面上两点之和的坐标是和，那么矢量
现在我们来问，如果两点之间的线上有一个小P，它满足条件。
怎么求这个点p的坐标？注意:在这种情况下，我们说P点按比例划分线段。如果P位于线段内，这个比值为正，否则为负。因为
所以，如果我们有它，我们会得到它。如果我们有它，我们会得到它。
当特殊p是线段的中点时，因为，我们有
这是求两点连线中点的公式。
由以上分析，我们还可以得出以下重要结论:平面上三点共线性的充要条件是有三个不全为零的实数L，M，N，这样，
证书。如果共线，则应按一定比例划分的线段，即
生活
这是三个不全是零的实数，还有
现在，另一方面，假设有三个不全是零的实数，我们不妨假设其中有
也就是说，是连接线段的点除以比值l:m，这三个点当然是共线的。
(二)复数的乘(除)法现在我们来看看复数的乘(除)法的几何意义，并设
所以我们有
即当两个复数相乘(相除)时，它们的模数相乘(相除)，幅度相加(相减)。
所以，要做一个矢量，只需要乘以矢量的长度，逆时针旋转矢量一个角度就可以了。
从这里可以看出，如果惩罚一个矢量Z逆时针(顺时针)转一个角度，只需要把Z乘以(或)。特别的，如果我们想把向量Z向左(右)转一个直角，我们只需要把Z乘以I(或者-i)。
另外我们还看到，为了求向量之间的夹角，只需要做复数的振幅角。
二、几何证明的例子
现在，我们举几个例子来说明如何用上面提到的一些简单概念来证明平面几何题。这里给出的方法都是用复数的代数演算给出的，所以称为解析注释法。你在平面几何课程中学到的方法叫综合法。这里，我们既给出了问题的分析证明，也给出了问题的综合证明。
1.证明三角形的三条中线相交于一点。
设三角形的三个顶点A、B、C的坐标为，则它的三条边的中点L、M、N的坐标为
由于A，G和L共线，所以应该有
从而获得。
把它整理出来
和
但它们不共线，所以要以前面的结论为基础。
从而获得。
将=2/3代入公式(1)，你必须
所以我们可以看到，三角形的任意两条中线相交于此点，即三条中线有一个公共点。
这个问题的综合证明大家都知道，这里就不说了。我们只指出分析方法给出的是三角形的重心坐标。
2.从前有一个海盗，他把抢来的财宝埋在一个岛上，在日记里写下了这样的记录:“××××年××月×日，我在岛岸边的一棵松树P上岸，向左走，碰到一块大石头A，在这里，我向左转了90°，又走了同样长的路，到达岛上的一个点A’。我遇到了一块大石头B，在那里我向右拐了90°，然后走了同样长的路，到达了一个点B’。我把宝藏埋在A’和B’两点连线的中点。”
几千年后，他的后人发现了这本日记，来到了这个岛上。他发现两块石头仍然存在，但是岸边的松树已经不存在了。这个海盗的后代有没有办法再次找到埋藏的宝藏？
为解决问题，我们以A、B两点的直线L为实套，引入一个以直线中点0为原点的坐标系。在这个坐标系中，A的坐标是-1，B的坐标是1，P点的坐标是Z，那么向量
逆时针旋转矢量可以得到矢量，所以
但是这个向量的超点4的坐标是1，所以它的端点A’的坐标是
类似地，顺时针旋转矢量可以得到矢量，所以
这样已知的坐标是1-I (1-Z)。A \’和B \’的连接线段中点M的坐标应为
也就是说，不管P的坐标如何，埋宝点M始终是点-i，即以AB为底的等腰直角三角形的顶点。
如果点P在1的另一边，那么M的坐标就是I，因此，只要后来的人以AB为底做一个正方形，宝藏就一定埋在这个正方形的另外两个顶点上。
全面的解决方案。设A’，B’两点线段的中点为M，使PP’，A’A”，B’B”，MM’垂直于A，B两点直线l .因为M是梯形A’A”B”B”的一个腰的A’的中点，M’一定是另一个腰A”B”的中点。另一方面，在直角三角形△PP\’B和△BB\”B \’中，因为，∠1=∠2，所以
所以我们有
同理。
既然是A“B”的中点，M’也一定是AB的中点。另一方面，我们有
因此，有
即△MM\’A和△MM\’B是等腰直角三角形，所以△AMB是等腰直角三角形。可以看出，藏宝点是一个以AB为底的等腰直角三角形的顶点。
3.以平行四边形开口ABCD的各边为一条边，在平行四边形外做一个正方形。这四个正方形的四个圆心依次相连，形成一个正方形。
分析证据方法。平行四边形的四个顶点A、B、C和D的坐标是。第一个音符
但是这两个向量方向相同，长度相等，所以一定有
或者
现在注意，向量是通过顺时针旋转向量得到的，所以
但是这个向量的起点是，所以它的终点是。
正方形AA\’BB的中心是对角线A\’B的中点，所以它的坐标是
类似地，其他三个正方形的中心是
利用前面的条件
可以马上计算出来
也就是说，线段和具有相同的中点。也就是说，四边形的对角线是等分的。第二，我们有
因此
也就是说互相垂直，看起来一样，所以是正方形。
综合求解，考虑三角和。我们知道
另一方面，我们知道
因此
因此
因此
同理。
然后
因此
同理。
因此，它是方形的。
4.平面上有一个固定的圆K。圆外有一个不动点A，圆上有一个动点B。对于B的每一个位置，我们做一个基于AB的正三角形△ABC。我们问:当B在圆K上运动时，正三角形△ABC的第三个顶点C会划出什么样的轨迹？
注意，可以基于AB做出两个正三角形。我们只考虑正三角形中的一个。当我们从A到B时，这个正三角形出现在我们的右手边。
为了解决这个问题，我们引入一个以K的中心为原点，以0A线为实轴的坐标系。A在这个坐标系中的坐标是A，如果K的半径是R，那么B的坐标将是。现在注意矢量
向量是顺时针旋转向量得到的，所以向量的起点是A，所以C的坐标应该是
因此
双面取模
也就是说，C到这个点的距离始终是R，所以C的轨迹是一个以R为半径，圆心为圆心的圆。
现在让我们看看轨道的中心在哪里。我们知道
因此
也就是说，轨迹的中心就是逆时针旋转矢量得到的矢量的终点。所以我们要求的描述可以这样做:做一个以0A为底的正三角形，做一个以正三角形的第三个顶点为圆心R为半径的圆。这个圆就是要求的轨迹。
全面的解决方案。取0A为正三角形△OAD。考虑三角形△BAO和△CAD。我们有
另一方面，
因此∠CAD=∠BAO。因此
因此
因此，C位于以D为圆心，R为半径的圆上。
5.设△ABC为任意三角形，以此三角形的各边为底，向外做正三角形。证明这三个正三角形的重心是另一个正三角形的三个顶点。
证，设三角形三个顶点的坐标△ABC为，顺时针旋转矢量得到矢量。因此，如果你记得，有
但是A的坐标是，所以A的坐标是
三角形△AA\’B的重心坐标为
同样，另外两个三角形的重心是
这样，就会有
但是
因此，有
请从两侧取模并密封注意。
Delta是一个正三角形。
三、一道有趣的数学竞赛题
以上四个例子，除了第一个例子，一般都属于同一类型，技巧都不算太强。下面这道题是国外的数学竞赛题，我们也是用解析的方法来解。因为这个问题比较难，所以它的技巧性也比较强。标题是这样的:
给定一个半径为1的圆和平面上的其他N个点(圆内、圆外或圆上)，证明了可以在圆上找到一个点M，使得
为了证明这个事实，我们先证明一个公式，比如说
那么对于任何整数
事实上，如果
但是
因此，有
也就是
现在我们在平面上引入一个以给定圆心为原点的坐标系，设
因为z在单位圆上，上面的公式可以写成
在…之中
现在我们在平面上引入一个以给定圆心为原点的坐标系，设
因为z在单位圆上，上面的公式可以写成
在…之中
我们的任务是证明在单位圆上可以找到一个点Z，为此，我们可以作一个正的n+1多边形内接在单位圆上，使它的一个顶点为1。如您所愿。
那么这个正n+1多边形的顶点将是
我们证明在n+1个点中一定有一个点，它满足条件。
否则，我们会有
但是
两边加，注意。
得到
取两边的模，利用上面提到的不等式得到
这就导致了一个矛盾。这个矛盾说明一定有一个K使得
从这个问题的解，我们还可以得出下面这个有趣的定理，这个定理在高等数学中有非常重要的促进作用。
定理。如果多项式
乘以，那么P(z)与任意圆中的正N边形相连的每个固定点的平均值等于它在圆心处的值。(编者注:在《复杂分析:可视化方法》中，第92页有一个专门的章节来讨论这一点)
设圆心为A，圆的半径为r，首先我们证明多项式P(z)可以改写为
的形式。这可以用数学归纳法来证明。当m=0时，这是显而易见的。如果多项式的次数不大于k的事实成立，那么对于任意k+1次多项式
我们有
其中Q(z)是次数不大于k的多项式。根据归纳假设
因此
这证明了我们的论断。注意，当P(z)以(1)的形式书写时，其在圆心处的值为
现在假设与正N多边形内接的圆的顶点是
那么它的所有顶点都将是
求P(z)在这n点的平均值，只需要求(1)中每一项在这n点的平均值。注意当时第k项的平均值是
=0
而零阶项的平均值仍然是，所以有
