质数是什么意思(质数和质数的区别)16 13: 39全球科学
在《易受攻击的质数》中，任何一个数字的变化都会使其成为一个复数(图片来源:广达杂志)
素数是指大于1的自然数中，除了1和它本身之外，没有其他因素的自然数。1978年，数学家们发现了一种“脆弱”质数，通过任意将它们的一位数变成复合数，称为“脆弱质数”。最近，数学家发现了更多的“脆弱素数”，这个概念又被扩展了…
我们来看看下面的图，看看能不能找出它们的特色:294001，505447，584141。
你可能会注意到它们都是质数(只能被你自己和1整除)，但事实上，这些数字远不止这些。如果我们选择这些数字中的任何一个来改变它，新获得的数字将成为一个复合数字。例如，如果294001中的1变成7，那么得到的数就可以被7除，如果变成9，就可以被3除。
这些数字被称为“脆弱素数”，它们是相对较新的数学发现。1978年，数学家默里·克拉金提出了这类素数的猜想，随后很快得到了数学家erdős·帕尔的回答，他发表了历史上数量最多的论文。他不仅证明了脆弱素数确实存在，还证明了它们的数量是无限的。后来，其他数学家进一步扩展了鄂尔多斯的结果，包括菲尔兹奖获得者陶哲轩，他在2011年的一篇论文中证明了脆弱素数处于“正比例”。这意味着当素数本身变大时，两个连续的脆弱素数之间的平均距离保持稳定。换句话说，脆弱的质数不会越来越少。
在最近发表的两篇论文中，南卡罗来纳大学的迈克尔·菲拉塞塔进一步阐述了这一观点，并提出了一类结构更加微妙的脆弱素数。受长辈和陶哲轩工作的启发，他想象了一个无限长的前导零串作为素数的一部分，就像数字53和…0000053具有相同的值一样，所以如果一个易受攻击的素数之前的无限长的零中的任何一个被改变，素数会变得复杂吗？Filaseta假设这些数字存在，并将其称为“广义脆弱素数”。2020年11月，他与研究生Jeremiah Southwick发表了一篇论文，探讨这些数字的本质。这个结果得到了佐治亚大学数学教授保罗·波拉克的称赞。
迈克尔·费拉塞塔(来源:扎克·怀特/南卡罗来纳大学)
显然，这样的数字比原来脆弱的质数更难找到。波拉克说:“294001是一个易受攻击的素数，但它不是广义上的易受攻击的素数，因为如果我们把…000294001变成…010294001，我们会得到另一个素数，而不是一个复合数。
事实上，Filaseta和SoSwick搜索了1，000，000，000以内的所有整数，在十进制中没有发现任何广义脆弱素数。然而，这并没有阻止他们寻找。
经过不懈的探索，他们证明了这样的数字在十进制中确实是可能的，而且会有无穷多个。此外，他们还证明了广义脆弱素数也是成正比的，就像陶哲轩的结论一样。后来，在SoSwick的博士论文中，他在2、9、11和31个十进制中得到了同样的结果。这些发现给波拉克留下了深刻的印象。他说:“你可以对这些数字做无限多种可能的改变，但无论你做哪种改变，你总会得到一个复合数。”
证明的过程主要依靠两个工具。第一个叫覆盖系统，是鄂尔多斯在1950年发明的，目的是解决数论中的一个问题。索斯威克说:“覆盖同余可以提供大量的群，同时保证每个正整数至少在其中一个群中。”例如，如果所有正整数除以2，我们可以得到两组:一个偶数组和一个奇数组。这样，所有正整数都可以被“覆盖”，同一组中的数字被认为是彼此“一致”的。当涉及的数很大时，即寻找广义脆弱素数时，情况会变得更加复杂。我们需要更多的群体，大约102.5万。这些组中的每一个质数都应该保证在加上任何一个数字(包括前面的零)后成为一个复合数。
然而，为了找到广义脆弱素数，这些数中的任何一个在被约化后都必须成为一个复合数。这是第二个工具，叫做筛选。筛分法可以追溯到古希腊。它提供了一种计算、估计或设置满足某些性质的整数极限的方法。Filaseta和Suo Swick使用了一个筛选参数，类似于陶哲轩在2011年采用的方法，即如果你取上述组中的素数，并减少其中一个数，比例素数就会变成复合数。换句话说，广义脆弱素数也是成比例的。
然后，在1月份的一篇论文中，菲拉塞塔和他现在的研究生雅各布·朱耶拉特提出了一个更令人惊讶的观点:存在一个任意长的连续素数序列，其中每个数都是广义脆弱素数。例如，可以找到10个连续的广义脆弱素数。菲拉塞塔说，但这必须测试大量的素数。\”这个数字可能比哈勃体积中的原子数量还要多.\”他把这比作连续10次中彩票。虽然概率极小，但还是有可能的。
菲拉塞塔和朱吉拉特分两个阶段证明了他们的定理。首先，他们用覆盖同余证明了存在一个包含无穷多个素数的群，且群中所有的数都是脆弱素数。第二步，他们应用了2000年Daniel Shiu证明的一个定理:在所有素数中，有任意数量的连续素数属于上述组。这可以进一步解释这些连续素数一定是广义脆弱素数。
达特茅斯学院的卡尔·波美兰斯非常喜欢这些论文，他称赞菲拉塞塔是应用同余覆盖的大师。同时，他还指出，用十进制表示一个数字可能比较方便，但不符合数字的本质。他认为有更基本的方法来表示数字，比如梅森素数的定义，素数P的表达式是2p-1。
在前人研究的基础上，近期的一些相关论文提出了更多值得探讨的问题。比如，每一个十进制都有广义脆弱素数吗？当一个数插入两个数之间，而不仅仅是替换一个数，会有无穷多个质数变成合数吗？
此外，Pomerance还提出了另一个有趣的问题:当数趋近于无穷大时，所有的素数都会变成(广义)脆弱素数吗？这是否意味着非(广义)脆弱素数的数量是有限的？尽管他和菲拉塞塔都没有想到证明这个猜想的方法。
波美兰斯说:“数学研究的魅力在于，你永远不会事先知道你能否解决一个具有挑战性的问题，或者它是否有意义。就像你不能提前决定:我今天要做一些有价值的事情，因为你不知道数学研究中什么是有价值的，所以你只能不断地思考和尝试。”
史蒂夫·纳迪斯写的
翻译:周一灿
点评:王宇
参考链接:
https://www . quantamagazine . org/数学家-找到一类新的数字精致素数-20210330/
