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• 表达形式
• 整型
• 微分形式
• 物理性质方程
• 复数形式
• 注意

静电场高斯定理(大学物理高斯定理公式)2021-07-12 16: 30滤镜

麦克斯韦方程组(英文:Maxwell方程组)是19世纪英国物理学家詹姆斯·科勒·麦克斯韦建立的一组偏微分方程，用来描述电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。

从麦克斯韦方程组可以推出电磁波在真理空中以光速传播，进而可以做出光是电磁波的猜想。麦克斯韦方程和洛伦兹力方程是经典电磁学的基本方程。从这些基本方程的相关理论出发，发展了现代电力技术和电子技术。

在麦克斯韦诞生之前的半个多世纪里，人类对电磁现象的认识有了很大的进步。1785年，法国物理学家查尔斯·a·库仑根据扭转平衡的实验结果，建立了库仑定律来解释两点电荷之间的相互作用力。1820年，汉斯·克里斯钦·奥斯特发现电流可以使磁针偏转，从而将电与磁联系起来。此后，安德烈·玛丽·安帕尔研究了电流之间的相互作用，提出了许多重要的概念和安培环路定律。m .法拉第在很多方面都做出了突出的贡献，尤其是1831年发表的电磁感应定律，是电机、变压器等设备的重要理论基础。

1845年，人们总结了关于电磁现象的三个基本实验定律:库仑定律(1785年)、毕奥-萨伐尔定律(1820年)和法拉第电磁感应定律(1831-1845年)。法拉第的“电磁力线”和“磁磁力线”(现在也叫“电场线”和“磁感应线”)。从1855年到1865年，麦克斯韦在全面考察库仑定律、毕奥-萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，将数学分析方法引入电磁学的研究领域，从而导致了麦克斯韦电磁理论的诞生。

在麦克斯韦之前，所有关于电磁现象的理论都是基于远距离作用的概念。他们认为带电体、磁化体或载流导体之间的相互作用可以在中间介质之外直接进行并立即完成，即电磁扰动的传播速度是无限的。当时只有法拉第不同意。他认为这些相互作用都与中间媒介有关，都是通过中间媒介的传递来进行的，也就是他所倡导的及物性理论。

继承法拉第的观点，参考流体力学模型，应用严谨的数学形式，总结了前人的工作，提出了位移电流假说，扩展了电流的含义，将电磁场的基本定律简化为四个微分方程，即著名的麦克斯韦方程。他分析了这组方程，预见了电磁波的存在，得出电磁波的传播速度是有限的(接近光速)，光也是一定频率的电磁波。他在题为《论电和磁》的论文中写道。

1887年，赫兹用实验方法产生并探测电磁波，证实了麦克斯韦的预见。从1905年到1915年，阿尔伯特·爱因斯坦的相对论进一步论证了时间、空、质量、能量和运动之间的关系，表明电磁场是物质的一种形式，及物性理论得到了认可。

麦克斯韦方程由四个方程组成:

高斯定律:

该定律描述了电场和电荷分布之间的关系。电场线以正电荷开始，以负电荷(或无穷大)结束。通过计算穿过给定封闭表面的电场线的数量，即它的电通量，我们可以知道这个封闭表面所包含的总电荷。更具体地说，该定律描述了通过任何封闭表面的电通量和该封闭表面中的电荷之间的关系。

高斯磁学定律:

这个定律表明磁单极子实际上并不存在。所以没有孤立的磁荷，磁力线没有起点也没有终点。磁场将形成一个环或延伸到无限远。换句话说，进入任何区域的磁力线都必须从那个区域离开。用术语来说，通过任意闭合曲面的磁通量等于零，或者磁场是无源场。

法拉第感应定律:

该定律描述了时变磁场如何感应电场。电磁感应是制造许多发电机的理论基础。例如，旋转的条形磁铁会产生随时间变化的磁场，而磁场又会产生电场，这样相邻的闭合电路就会感应出电流。

麦克斯韦-安培定律:

该定律指出，磁场可以通过两种方式产生:一种是通过传导电流(原始安培定律)，另一种是通过与时间相关的电场，或位移电流(麦克斯韦校正项)。

在电磁学中，麦克斯韦修正项是指时变电场可以产生磁场，由于法拉第感应定律，时变磁场可以产生电场。这样，这两个方程理论上允许自持电磁波在空之间传播。

麦克斯韦电磁场理论的要点可以总结如下:

(1)几分钟的带电体或电流，它们之间所有的电和磁效应都是通过它们之间的中间区域传递的，不管中间区域是实空还是固体物质。

②电能或磁能不仅存在于带电体、磁化体或有电流的物体中，而且大部分分布在周围的电磁场中。

③由导体组成的电路如果出现中断，电路中的传导电流将由电介质中的位移电流补偿，即整个电流是连续的。位移电流与产生的磁场的关系与传导电流的关系相同。

④磁通量既没有起点也没有终点，即没有磁荷。

⑤光波也是电磁波。

麦克斯韦方程有两种表达方式。

1.积分形式的麦克斯韦方程组是描述一定体积或面积内电磁场的数学模型。这个表达是:

(1)公式是由安培环路定律推广而来的全电流定律，即磁场强度h沿任意闭合曲线的积分等于通过该曲线有限区域的全电流。等号右边的第一项是传导电流。第二项是位移电流。②公式是法拉第电磁感应定律的表达式，表明电场强度e沿任意闭合曲线的线积分等于穿过曲线所定义区域的磁通量变化率相对于时间的负值。这里提到的闭合曲线不一定要由导体组成，它可以是介质环，甚至可以是任意闭合轮廓。公式(3)代表磁通量连续性的原理，它表明对于任何封闭的曲面，当许多磁通量进入曲面时，相同数量的磁通量离开。也就是B线既没有起点也没有终点；这也表明没有与电荷相对应的磁荷。④是高斯定律的表达式，它表明在时变条件下，来自任意封闭表面的D的净通量应等于封闭表面所包围的体积中所有自由电荷的总和。

2.微分形式的麦克斯韦方程。微分形式的麦克斯韦方程适用于场中的每一点。使用del运算符，它们可以写成

⑤是全电流定律的微分形式，说明磁场强度H的旋度等于该点的全电流密度(传导电流密度J和位移电流密度

而且)，也就是磁场的涡旋源是全电流密度，位移电流可以像传导电流一样产生磁场。方程⑥是法拉第电磁感应定律的微分形式，说明电场强度E的旋度等于该点磁通密度B的时间变化率的负值，即电场的涡旋源是磁通密度的时间变化率。⑦是磁通连续性原理的微分形式，说明磁通密度B的散度总是等于零，即B线无始无终。也就是说，没有与电荷相对应的磁荷。⑧是静电场高斯定律的推广，即在时变条件下，电位移D的散度仍等于该点的自由电荷体积密度。

除了上述四个方程外，还需要介质的本构关系。

为了最终解决场上量的问题。其中ε是介质的介电常数，μ是介质的磁导率，σ是介质的电导率。

表达形式

编辑

整型

麦克斯韦方程的积分形式如下:

这是麦克斯韦在1873年前后提出的四个方程，用来表达电磁场的一般规律。其中包括:

(1)描述了电场的性质。一般来说，电场可以是自由电荷的电场，也可以是改变磁场激发的感应电场，而感应电场则是涡流场，其电位移线是封闭的，对封闭曲面的通量没有贡献。

(2)描述了磁场的性质。磁场可以通过改变电场的传导电流或位移电流来激发。它们的磁场是涡旋场，磁感应线是闭合线，对闭合曲面的通量没有贡献。

(3)描述了磁场变化激发电场的规律。

(4)描述了传导电流激发磁场和电场变化的规律。

稳定场中的形态

当…的时候

，方程简化为静电场和稳恒磁场方程:

字段中没有表单来源免费空

当…的时候

，方程变成如下形式:

麦克斯韦方程组的积分形式反映了空之间一定区域内电磁场(D，E，B，H)与场源(电荷Q，电流I)之间的关系。

微分形式

在电磁场的实际应用中，往往需要知道逐点电磁场与空之间的电荷和电流的关系。数学上，就是把麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。倒三角是哈密顿算符。

注意:

(1)麦克斯韦方程组在不同的惯性参照系中具有相同的形式。

(2)应用麦克斯韦方程组解决实际问题还应考虑介质对电磁场的影响。例如，在均匀各向同性介质中，电磁场与介质的特征量有如下关系:

在非均匀介质中，还应考虑界面电磁场的边值关系。原则上，利用t=0时场的初值条件，可以得到任意时刻空之间任意点的电磁场，即E(x，y，z，t)和B(x，y，z，t)。

下面是高斯单位制下的麦克斯韦方程组。

物理性质方程

当有介质时，由于电场和磁场的相互作用，电磁场与介质的特性有关。因此，上面提到的麦克斯韦方程此时并不完整，需要补充描述介质(各向同性介质)性质的物理性质方程，具体如下

其中，ε、μ和σ分别是介质的绝对介电常数、导体的绝对磁导率和电导率。

进一步的理论证明，麦克斯韦方程和物理性质方程是确定电磁场变化的一整套方程。也就是说，在给定电荷和电流的情况下，根据初始条件(和必要的边界条件)，电磁场的变化完全可以由上述方程确定。当然，如果要讨论电磁场对带电粒子的影响以及带电粒子在电磁场中的运动，就需要洛伦兹力公式。[2]

复数形式

对于正弦时变场，复矢量可以用来表示复杂形式的电磁场规律。

在复数形式的电磁场定律中，由于场和源的复数只是空之间位置的函数，求解时无需考虑它们对时间的依赖性。因此，利用复电磁场定律讨论正弦时变场是很方便的。

注意

用不同的单位制，麦克斯韦方程组的形式会略有变化，一般形式保持不变，但在方程组内不同的位置会出现不同的常数。

国际单位制是最常用的单位制，在整个工程领域都在使用，大多数化学家也使用这种单位制，几乎所有的大学物理教材都使用它。其他常用的单位制有高斯单位制、洛伦兹-亥维赛德单位制和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生而来的高斯单位制更适合教学目的，可以使方程看起来更简单，更容易理解。Lorenz-hew side单位制也是由厘米-克-秒制衍生而来，主要用于粒子物理。普朗克的单位制是自然单位制，它的单位是根据自然的性质来定义的，不是人为设定的。普朗克单位制是研究理论物理非常有用的工具，可以给人很大的启示。在这一页上，除非另有说明，所有方程都采用国际单位制。

这里显示了麦克斯韦方程的两个等价表达式。第一个表达式如下:

在这个表达式中，自由电荷和束缚电荷之和就是高斯定律所要求的总电荷，自由电流、束缚电流和极化电流之和就是麦克斯韦-安培定律中的总电流。这种表达方式采用了比较基本和微观的观点。该表达式可用于计算真空中有限源电荷和源电流产生的电场和磁场。但是物质中的电子和原子核太多，实际上无法考虑。其实经典电磁学并不需要这么准确的答案。

第二种表达可以在前面提到的“积分形式”中的“一般形式”中找到。它以自由电荷和自由电流为源，不直接计算介质中出现的束缚电荷和磁化材料中出现的束缚电流、极化电流的贡献。一般实际情况下，可以直接控制的参数是自由电荷和自由电流，而束缚电荷、束缚电流和极化电流是材料极化后产生的现象。使用这个表达式将使电介质或磁化材料的各种物理计算变得更容易。

从表面上看，麦克斯韦方程似乎是超定方程，只有6个未知数(矢量电场和磁场各有3个未知数，电流和电荷不是未知数，而是自由设定的符合电荷守恒的物理量)，但有8个方程(两个高斯定律有2个方程，法拉第定律和安培定律是矢量方程，各含3个方程)。这种情况与麦克斯韦方程的某些有限重复性有关。从理论上可以推导出，任何满足法拉第定律和安培定律的系统都必须满足两个高斯定律。[3]

另一方面，麦克斯韦方程不是封闭的。只有给出电磁介质的特性，方程才能求解。